0
雷鋒網(wǎng) AI 科技評(píng)論按：這個(gè)中秋，關(guān)心學(xué)術(shù)的小伙伴們看到的最多的消息大概就是英國(guó)數(shù)學(xué)家 Michael Atiyah 爵士宣布自己證明了黎曼猜想。如果這是真的，Atiyah 爵士將不僅獲得由克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的一百萬(wàn)美金獎(jiǎng)勵(lì)，更是他個(gè)人的至高榮譽(yù)和整個(gè)數(shù)學(xué)界的狂歡。
然而，根據(jù)我們目前的了解，Atiyah 爵士極有可能是在自?shī)首詷?lè)逗大家玩……
大家這幾天應(yīng)該被動(dòng)惡補(bǔ)了不少黎曼函數(shù)和黎曼猜想的介紹了，這里雷鋒網(wǎng) AI 科技評(píng)論還是不厭其煩地再簡(jiǎn)單說(shuō)下。
首先有無(wú)窮級(jí)數(shù) ζ(s)
當(dāng) s 取 1 時(shí)，它就是調(diào)和級(jí)數(shù) 1+1/2+1/3+1/4+...，算數(shù)意義上不收斂。s = 2 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于 π2/6。等等。當(dāng) s 的取值為復(fù)數(shù) s=x+iy 時(shí)，它會(huì)把復(fù)平面上的點(diǎn) s(x,iy) 映射到另一點(diǎn) s'(x',iy')。我們注意到這個(gè)級(jí)數(shù)要求 s 的實(shí)部大于 1（x>1），否則這個(gè)級(jí)數(shù)不收斂，也就沒(méi)有我們熟悉的數(shù)值和結(jié)果。
黎曼函數(shù)是 ζ(s) 在整個(gè)復(fù)平面的解析延拓，將 s 的定義域擴(kuò)展到整個(gè)復(fù)平面。（值得說(shuō)明的是，解析延拓是一種非常強(qiáng)的約束。如果一個(gè)函數(shù)存在解析延拓，那么解析延拓的結(jié)果是唯一的。在這里 ζ(s) 的解析延拓剛好展現(xiàn)出了仿佛對(duì)稱(chēng)的樣式，而不是先做了一個(gè)對(duì)稱(chēng)然后把它稱(chēng)為解析延拓）
黎曼在提出黎曼函數(shù)時(shí)輕松地發(fā)現(xiàn)，當(dāng) s 取負(fù)偶數(shù)整數(shù)時(shí)，函數(shù)值為零，那么 s=-2n（n為自然數(shù)）就被稱(chēng)為黎曼函數(shù)的平凡零點(diǎn)（平凡表示沒(méi)什么難度的、很容易理解的）。（同時(shí)，在解析延拓后的方程中帶入 s=-1，得到 1+2+3+4+... = -1/12；帶入 s=-3，得到 1+23+33+43+... = 1/120。這樣的結(jié)果并不是我們熟悉的 1+1=2 那樣的算數(shù)和，它只是揭示了等號(hào)左邊和右邊的式子有某種我們還不完全理解聯(lián)系）
另一些零點(diǎn)就沒(méi)那么普通了（非平凡零點(diǎn)），它們是復(fù)數(shù)，而且有耐人尋味的分布規(guī)律。黎曼在 1859 年《論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》論文中提出了三個(gè)命題：
命題一，認(rèn)為非平凡零點(diǎn)都位于 Re(ρ)=0 到 Re(ρ)=1 的條狀區(qū)間內(nèi)
命題二，認(rèn)為幾乎所有非平凡零點(diǎn)都位于 Re(ρ)=1/2 的直線上，這條線也被稱(chēng)為臨界線
命題三，黎曼謹(jǐn)慎地猜測(cè)有可能所有非平凡零點(diǎn)都位于 Re(ρ)=1/2 的直線上
大家應(yīng)該還聽(tīng)說(shuō)過(guò)黎曼函數(shù)揭示了素?cái)?shù)的精細(xì)分布規(guī)律，限于本文作者學(xué)識(shí)有限這里暫不介紹，有興趣的同學(xué)歡迎自行百度盧昌海的《黎曼猜想漫談》。
黎曼的這篇論文發(fā)表于 1859 年。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家不怎么喜歡發(fā)論文，他們發(fā)表的成果只是自己所有研究中的經(jīng)過(guò)深思熟慮、有充足的論據(jù)支撐的一小部分。黎曼在當(dāng)時(shí)也是領(lǐng)先于時(shí)代的數(shù)學(xué)家，以致于他的論文發(fā)表后，當(dāng)時(shí)的許多數(shù)學(xué)家連他提出的命題一和二都認(rèn)為只是黎曼的單方面幻想（黎曼在文中則是由非常肯定的語(yǔ)氣提出的）。由于黎曼猜想的難度之高，數(shù)學(xué)界做出進(jìn)展的速度極為遲緩，甚至有觀點(diǎn)認(rèn)為「如果黎曼是錯(cuò)的，我們的日子反倒會(huì)好過(guò)一些」。論文發(fā)表 46 年后，數(shù)學(xué)界終于證明了命題一；73 年后，另一位德國(guó)數(shù)學(xué)家 Siegel 整理黎曼僅存的手稿，讓黎曼當(dāng)時(shí)演算零點(diǎn)所用的公式重見(jiàn)天日（并命名為 Riemann-Siegel 公式），同時(shí)震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界，因?yàn)?strong>這一公式比 73 年后數(shù)學(xué)家們所用的公式還要先進(jìn)；數(shù)學(xué)界也更加為黎曼的思想以及猜想的前瞻性所折服。
借著這一公式，后來(lái)的數(shù)學(xué)家與計(jì)算機(jī)科學(xué)家們用計(jì)算的方法加以驗(yàn)證，已經(jīng)驗(yàn)證了超過(guò)前 200 億個(gè)非平凡零點(diǎn)都在臨界線上——但數(shù)學(xué)畢竟不是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，這并不能證明第三個(gè)命題正確。第二個(gè)命題（幾乎都位于臨界線上）的證明則推進(jìn)到「至少有 40% 的非平凡零點(diǎn)在臨界線上」，就再也沒(méi)有新的進(jìn)展了。黎曼猜想，尤其是命題三，仍未得到證明。
回過(guò)頭來(lái)想想黎曼給出三個(gè)命題時(shí)的態(tài)度，對(duì)命題一、二，是十分肯定的預(yù)期；而命題三，他也只敢謹(jǐn)慎地猜測(cè)。
160 年過(guò)去了，數(shù)學(xué)家們幾乎都相信黎曼猜想是正確的，但還沒(méi)有人拿出嚴(yán)格的證明。對(duì)于黎曼猜想，數(shù)學(xué)界有兩句調(diào)侃：「如果魔鬼與一位數(shù)學(xué)家做交易，允許他用靈魂交換一個(gè)命題的證明，那他大概率會(huì)選擇黎曼猜想的證明」，以及「如果 500 年后黎曼活過(guò)來(lái)了，他要問(wèn)的第一件事就是『黎曼猜想證明了嗎？』」足見(jiàn)黎曼猜想的崇高地位。實(shí)際上，數(shù)學(xué)界已經(jīng)有許多新的理論和公式是建立在假設(shè)黎曼猜想正確的基礎(chǔ)上的，黎曼猜想一旦證明也是對(duì)他們的莫大的鼓舞。
經(jīng)過(guò)剛才的背景介紹，大家想必對(duì)黎曼猜想證明的難度已經(jīng)有所感受。簡(jiǎn)單明了的證明方法如果存在，之前一百多年中的數(shù)學(xué)家，包括極具遠(yuǎn)見(jiàn)的黎曼本人都有極大的可能直接發(fā)現(xiàn)它。以近幾十年來(lái)證明的重要數(shù)學(xué)猜想而言，Perelman 證明 Poincare 猜想，三篇論文用了將近 70 頁(yè)，而張益唐在給出孿生質(zhì)數(shù)猜想的估計(jì)時(shí)也寫(xiě)了將近 60 頁(yè)。
而 Atiyah 爵士展現(xiàn)出來(lái)的是：一篇長(zhǎng)度為 5 頁(yè)的論文預(yù)印本，其中引用的介紹 Todd 函數(shù)的論文也只有 17 頁(yè)。以及，介紹自己證明過(guò)程的演講中，關(guān)于證明過(guò)程本身的 PPT 只有一頁(yè)。
只憑證明長(zhǎng)度， Atiyah 爵士就收獲了大多數(shù)數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑。
另一點(diǎn)也引起了直覺(jué)上的質(zhì)疑的是，出生于 1929 年的 Atiyah 爵士如今已經(jīng) 89 歲高齡。縱觀整個(gè)數(shù)學(xué)史，尚無(wú)一位數(shù)學(xué)家在如此高齡做出這種級(jí)別的成果。且 Atiyah 爵士雖然證明了 Atiyah-Singer 指標(biāo)定理（被譽(yù)為上個(gè)世紀(jì)微分幾何中最重要的定理）并獲得了菲爾茲獎(jiǎng)與阿貝爾獎(jiǎng)，但一方面他是研究幾何/解析幾何的，黎曼猜想則屬于復(fù)分析與數(shù)論，處于不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域；另一方面，據(jù)數(shù)學(xué)博士、前浙大物理學(xué)博士后 @賊叉（新浪微博）回憶，「老頭在幾年前嚷嚷著自己證明了 6 維球面上沒(méi)有復(fù)結(jié)構(gòu)最后卻不了了之」，他認(rèn)為這次宣告的大新聞可能仍然是鬧笑話。（宣告大新聞在如今的數(shù)學(xué)界也不是稀罕事，前幾日尼日利亞一位數(shù)學(xué)教授也宣布證明了黎曼猜想，浙江大學(xué)一位 YinYue Sha 發(fā)布了一份一頁(yè)長(zhǎng)度的黎曼猜想證明，而日本數(shù)學(xué)教授望月新一宣告證明 ABC 猜想直到現(xiàn)在也尚未令人信服）
除了直覺(jué)上對(duì)「Atiyah 爵士證明了黎曼猜想」的質(zhì)疑，針對(duì)證明過(guò)程本身合理性的質(zhì)疑也已經(jīng)出現(xiàn) —— 這才是真正致命的。
根據(jù) @賊叉 介紹，閱讀 5 頁(yè)的預(yù)印本以及 17 頁(yè)的介紹 Todd 函數(shù)的引用論文后，他表示：
事實(shí)上，老頭證明的關(guān)鍵就是在于使用了一個(gè)他稱(chēng)之為弱解析函數(shù)的 Todd 函數(shù)。
我們 follow 了他參考文獻(xiàn)中的第二篇論文：THE FINE STRUCTURE CONSTANT，粗粗讀完論文之后，我感覺(jué)：
這哪兒是論文啊，這就是一部數(shù)學(xué)史啊！
在整個(gè) 17 頁(yè)的論文中，涉及到 Todd 映射的核心內(nèi)容在 3.4。從 Todd 映射的構(gòu)造來(lái)看，這是一個(gè)從復(fù)數(shù)到復(fù)數(shù)的映射，并且是個(gè)高度的非線性映射。
他給出了一個(gè)希爾伯特空間上的 Clifford 代數(shù)的無(wú)限張量積的弱閉包，這個(gè)弱閉包取自?xún)蓚€(gè)希爾伯特空間的張量積。這個(gè)希爾伯特空間上的 Clifford 代數(shù)的跡誘導(dǎo)出了閉包上的跡，這個(gè)閉包的中心通過(guò)兩個(gè)同構(gòu)映射的復(fù)合能和復(fù)數(shù)域同構(gòu)，這樣就完成了 Todd 映射的構(gòu)造。
后面又介紹了 Todd 多項(xiàng)式的構(gòu)造。
但是怎么利用 Todd 映射和 Todd 多項(xiàng)式呢？
反正我是沒(méi)找到。
看到前面這一堆術(shù)語(yǔ)，估計(jì)已經(jīng)有人想打我了，我就打個(gè)比方吧。
說(shuō)：理論上青銅能做工藝品，你給我做個(gè)后母戊方鼎。
工具？略
怎么做？略
。。。
老頭大概就是玩了這么個(gè)把戲。
他把為什么 Todd 映射能夠用于黎曼猜想的證明給。。。略了，我只能表示哭笑不得。
數(shù)學(xué)是一門(mén)及其注重嚴(yán)謹(jǐn)性的學(xué)科，推理過(guò)程的每一步都要給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，尤其不能越重要的地方越略過(guò)。在 @賊叉 看來(lái)，這個(gè)證明九成九是不行的……
另一位科學(xué)松鼠會(huì)的 @科普君XueShu（新浪微博） 也給出了自己的意見(jiàn)。根據(jù)他的解讀，Atiyah 爵士假定他提出的這個(gè)弱解析函數(shù) Todd 函數(shù)的某種極限等同于物理學(xué)中精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù) α 的倒數(shù)，相當(dāng)于嘗試用這一描述光速、單個(gè)電子攜帶電荷數(shù)量、普朗克常數(shù)之間關(guān)系的物理學(xué)常數(shù)的取值解釋復(fù)解析函數(shù)的非平凡零點(diǎn)的存在規(guī)律。雖然精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù) α 確實(shí)有奇妙的性質(zhì)，比如它的取值不依賴(lài)基本單位大小的選取，而且目前也沒(méi)有找到對(duì)它的取值 1/137.03599913 的好的理論解釋?zhuān)硪环矫嬷耙苍谄渌麊?wèn)題中存在物理學(xué)方法和純數(shù)學(xué)方法存在聯(lián)系的例子，但這種跨領(lǐng)域的強(qiáng)加聯(lián)系，未免帶來(lái)一種「用量子糾纏得出小孩感冒了可以針灸扎他媽媽」的民科感。
@科普君XueShu 還補(bǔ)充道：
「（精細(xì)物理常數(shù)）上個(gè)世紀(jì)剛發(fā)現(xiàn)的時(shí)候，很多物理學(xué)家都想從數(shù)學(xué)角度給出一個(gè)解釋和推導(dǎo)，但后來(lái)種種證據(jù)表明這個(gè)想法完全不靠譜，早已經(jīng)被扔進(jìn)了歷史的垃圾堆，雖然目前依然是民科們放飛自我的重災(zāi)區(qū)。
沒(méi)想到這次又被Atiyah給翻出來(lái)了，還作為一個(gè)著名數(shù)學(xué)猜想證明的重要基礎(chǔ)。
其實(shí)這也倒不奇怪，因?yàn)锳tiyah本人是晚年才開(kāi)始正式學(xué)習(xí)物理的，他的物理直覺(jué)是臭名昭著得差。他經(jīng)常突發(fā)奇想自以為發(fā)現(xiàn)了解決某個(gè)物理學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵，從物理學(xué)家的角度看，跟網(wǎng)上常見(jiàn)的民科言論基本沒(méi)什么差別。但凡有點(diǎn)物理學(xué)素養(yǎng)的人都能看出其中的荒謬。不過(guò)作為他的學(xué)生的著名理論物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家愛(ài)德華威騰倒是每次都細(xì)心地列出一堆理由告訴他為什么這些想法行不通。每條理由都直擊要害，奈何Atiyah至今仍執(zhí)迷不悟。」
「數(shù)學(xué)大帝」丘成桐今天也在「數(shù)理人文」公眾號(hào)發(fā)表原創(chuàng)文章表示：「我問(wèn)過(guò)一批專(zhuān)家，大家都說(shuō)這篇文章沒(méi)有提供一般數(shù)學(xué)家要求的嚴(yán)格性的定理證明.……阿蒂亞教授的論點(diǎn)極為牽強(qiáng)，看不到它的物理或數(shù)學(xué)上的意義。……有時(shí)候不完備的證明也會(huì)帶有啟發(fā)能力，但是我還沒(méi)有看到這篇文章的啟發(fā)能力。」
說(shuō)到這里，我們幾乎已經(jīng)可以確定 Atiyah 爵士并沒(méi)能證明黎曼猜想，還惦記著那一百萬(wàn)美金獎(jiǎng)勵(lì)的同學(xué)可以先喘口氣了。但除了吃瓜和感到滑稽之外，相信很多同學(xué)都借機(jī)重新溫習(xí)了復(fù)分析和級(jí)數(shù)的知識(shí)（比如雷鋒網(wǎng) AI 科技評(píng)論的編輯們自己），也對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)許多有趣的方法和猜想有了新的認(rèn)識(shí)；最棒的情況當(dāng)然是重新發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣了。
Atiyah 爵士的名譽(yù)倒是不需要我們擔(dān)憂，他憑現(xiàn)有的成果和獎(jiǎng)項(xiàng)就可以繼續(xù)名垂青史。而我們就繼續(xù)一邊重新學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一邊期待真正嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⒔?jīng)得起檢驗(yàn)的黎曼猜想證明出現(xiàn)吧。
文末推薦兩個(gè)關(guān)于黎曼函數(shù)的科普讀物：
數(shù)學(xué)科普媒體 3Blue1Brown 的黎曼猜想介紹視頻：https://www.bilibili.com/video/av8726217
盧昌海《黎曼猜想漫談》系列博客。
雷鋒網(wǎng) AI 科技評(píng)論報(bào)道。
雷峰網(wǎng)原創(chuàng)文章，未經(jīng)授權(quán)禁止轉(zhuǎn)載。詳情見(jiàn)轉(zhuǎn)載須知。
