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| 本文作者： AI研習(xí)社-譯站 | 2019-08-19 15:34 |
“The only simple truth is that there is nothing simple in this complex universe. Everything relates. Everything connects”
— Johnny Rich, The Human Script
機(jī)器學(xué)習(xí)的主要應(yīng)用之一是對(duì)隨機(jī)過(guò)程建模。機(jī)器學(xué)習(xí)中一些隨機(jī)過(guò)程的例子如下:
泊松過(guò)程:用于處理等待時(shí)間以及隊(duì)列。
隨機(jī)漫步和布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程:用于交易算法。
馬爾可夫決策過(guò)程:常用于計(jì)算生物學(xué)和強(qiáng)化學(xué)習(xí)。
高斯過(guò)程:用于回歸和優(yōu)化問(wèn)題(如,超參數(shù)調(diào)優(yōu)和自動(dòng)機(jī)器學(xué)習(xí))。
自回歸和移動(dòng)平均過(guò)程:用于時(shí)間序列分析(如,ARIMA模型)。
在本文中，我將簡(jiǎn)要地向你介紹這些隨機(jī)過(guò)程。
歷史背景
隨機(jī)過(guò)程是我們?nèi)粘Ｉ畹囊徊糠帧ｋS機(jī)過(guò)程之所以如此特殊，是因?yàn)殡S機(jī)過(guò)程依賴于模型的初始條件。在上個(gè)世紀(jì)，許多數(shù)學(xué)家，如龐加萊，洛倫茲和圖靈都被這個(gè)話題所吸引。
如今，這種行為被稱為確定性混沌，它與真正的隨機(jī)性有著截然不同的范圍界限。
由于愛(ài)德華·諾頓·洛倫茲的貢獻(xiàn)，混沌系統(tǒng)的研究在1963年取得了突破性進(jìn)展。當(dāng)時(shí)，洛倫茲正在研究如何改進(jìn)天氣預(yù)報(bào)。洛倫茲在他的分析中注意到，即使是大氣中的微小擾動(dòng)也能引起氣候變化。
洛倫茲用來(lái)描述這種狀態(tài)的一個(gè)著名的短語(yǔ)是:
“A butterfly flapping its wings in Brazil can produce a tornado in Texas”
(在巴西，一只蝴蝶扇動(dòng)翅膀就能在德克薩斯州制造龍卷風(fēng) )— Edward Norton Lorenz
(愛(ài)德華·諾頓·洛倫茲)
這就是為什么今天的混沌理論有時(shí)被稱為“蝴蝶效應(yīng)”。
一個(gè)簡(jiǎn)單的混沌系統(tǒng)的例子是分形(如圖所示)。分形是在不同尺度上不斷重復(fù)的一種模式。由于分形的縮放方式，分形不同于其他類型的幾何圖形。
分形是遞歸驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，能夠捕獲混沌行為。在現(xiàn)實(shí)生活中，分形的例子有:樹(shù)、河、云、貝殼等。
圖1:MC. Escher， Smaller and Smaller [1]
在藝術(shù)領(lǐng)域有很多自相似的圖形。毫無(wú)疑問(wèn)， MC. Escher是最著名的藝術(shù)家之一，他的作品靈感來(lái)自數(shù)學(xué)。事實(shí)上，在他的畫(huà)中反復(fù)出現(xiàn)各種不可能的物體，如彭羅斯三角形和莫比烏斯帶。在"Smaller and Smaller"中，他也反復(fù)使用了自相似性(圖1)。除了蜥蜴的外環(huán)，畫(huà)中的內(nèi)部圖案也是自相似性的。每重復(fù)一次，它就包含一個(gè)有一半尺度的復(fù)制圖案。
確定性和隨機(jī)性過(guò)程
有兩種主要的隨機(jī)過(guò)程:確定性和隨機(jī)性。
在確定性過(guò)程中，如果我們知道一系列事件的初始條件(起始點(diǎn))，我們就可以預(yù)測(cè)該序列的下一步。相反，在隨機(jī)過(guò)程中，如果我們知道初始條件，我們不能完全確定接下來(lái)的步驟是什么。這是因?yàn)檫@個(gè)過(guò)程可能會(huì)以許多不同的方式演化。
在確定性過(guò)程中，所有后續(xù)步驟的概率都為1。另一方面，隨機(jī)性隨機(jī)過(guò)程的情況則不然。
任何完全隨機(jī)的東西對(duì)我們都沒(méi)有任何用處，除非我們能識(shí)別出其中的模式。在隨機(jī)過(guò)程中，每個(gè)單獨(dú)的事件都是隨機(jī)的，盡管可以識(shí)別出連接這些事件的隱藏模式。這樣，我們的隨機(jī)過(guò)程就被揭開(kāi)了神秘的面紗，我們就能夠?qū)ξ磥?lái)的事件做出準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。
為了用統(tǒng)計(jì)學(xué)的術(shù)語(yǔ)來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程，我們可以給出以下定義:
觀測(cè)值:一次試驗(yàn)的結(jié)果。
總體:所有可能的觀測(cè)值，可以記為一個(gè)試驗(yàn)。
樣本: 從獨(dú)立試驗(yàn)中收集的一組結(jié)果。
例如，拋一枚均勻硬幣是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，但由于大數(shù)定律，我們知道，如果進(jìn)行大量的試驗(yàn)，我們將得到大約相同數(shù)量的正面和反面。
大數(shù)定律指出:
“隨著樣本規(guī)模的增大，樣本的均值將更接近總體的均值或期望值。因此，當(dāng)樣本容量趨于無(wú)窮時(shí)，樣本均值收斂于總體均值。重要的一點(diǎn)是樣本中的觀測(cè)必須是相互獨(dú)立的。”
--Jason Brownlee
隨機(jī)過(guò)程的例子有股票市場(chǎng)和醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)，如血壓和腦電圖分析。
泊松過(guò)程
泊松過(guò)程用于對(duì)一系列離散事件建模，在這些事件中，我們知道不同事件發(fā)生的平均時(shí)間，但我們不知道這些事件確切在何時(shí)發(fā)生。
如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程能夠滿足以下條件，則可以認(rèn)為它屬于泊松過(guò)程:
事件彼此獨(dú)立(如果一個(gè)事件發(fā)生，并不會(huì)影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率)。
兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生。
事件的平均發(fā)生比率是恒定的。
讓我們以停電為例。電力供應(yīng)商可能會(huì)宣傳平均每10個(gè)月就會(huì)斷電一次，但我們不能準(zhǔn)確地說(shuō)出下一次斷電的時(shí)間。例如，如果發(fā)生了嚴(yán)重問(wèn)題，可能會(huì)連續(xù)停電2-3天(如,讓公司需要對(duì)電源供應(yīng)做一些調(diào)整)，以便在接下來(lái)的兩天繼續(xù)使用。
因此，對(duì)于這種類型的隨機(jī)過(guò)程，我們可以相當(dāng)確定事件之間的平均時(shí)間，但它們是在隨機(jī)的間隔時(shí)間內(nèi)發(fā)生的。
由泊松過(guò)程，我們可以得到一個(gè)泊松分布，它可以用來(lái)推導(dǎo)出不同事件發(fā)生之間的等待時(shí)間的概率，或者一個(gè)時(shí)間段內(nèi)可能發(fā)生事件的數(shù)量。
泊松分布可以使用下面的公式來(lái)建模(圖2)，其中k表示一個(gè)時(shí)期內(nèi)可能發(fā)生的事件的預(yù)期數(shù)量。
圖2:泊松分布公式[3]
一些可以使用泊松過(guò)程模擬的現(xiàn)象的例子是原子的放射性衰變和股票市場(chǎng)分析。
隨機(jī)漫步和布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程
隨機(jī)漫步是可以在隨機(jī)方向上移動(dòng)的任意離散步的序列(長(zhǎng)度總是相同)(圖3)。隨機(jī)漫步可以發(fā)生在任何維度空間中(如:1D，2D，nD)。
圖3:高維空間[4]中的隨機(jī)漫步
現(xiàn)在我將用一維空間(數(shù)軸)向您介紹隨機(jī)漫步，這里解釋的這些概念也適用于更高維度。
我們假設(shè)我們?cè)谝粋€(gè)公園里，我們看到一只狗在尋找食物。它目前在數(shù)軸上的位置為0，它向左或向右移動(dòng)找到食物的概率相等(圖4)。
圖4:數(shù)軸[5]
現(xiàn)在，如果我們想知道在N步之后狗的位置是多少，我們可以再次利用大數(shù)定律。利用這個(gè)定律，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)N趨于無(wú)窮時(shí)，我們的狗可能會(huì)回到它的起點(diǎn)。無(wú)論如何，此時(shí)這種情況并沒(méi)有多大用處。
因此，我們可以嘗試使用均方根(RMS)作為距離度量(首先對(duì)所有值求平方，然后計(jì)算它們的平均值，最后對(duì)結(jié)果求平方根)。這樣，所有的負(fù)數(shù)都變成正數(shù)，平均值不再等于零。
在這個(gè)例子中，使用RMS我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果我們的狗走了100步，它平均會(huì)從原點(diǎn)移動(dòng)10步(√100 = 10)。
如前面所述，隨機(jī)漫步用于描述離散時(shí)間過(guò)程。相反，布朗運(yùn)動(dòng)可以用來(lái)描述連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)漫步。
隱馬爾科夫模型
隱馬爾可夫模型都是關(guān)于認(rèn)識(shí)序列信號(hào)的。它們?cè)跀?shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域有大量應(yīng)用，例如:
計(jì)算生物學(xué)（https://towardsdatascience.com/computational-biology-fca101e20412）。
寫(xiě)作/語(yǔ)音識(shí)別。
自然語(yǔ)言處理(NLP)。
強(qiáng)化學(xué)習(xí)
HMMs是一種概率圖形模型，用于從一組可觀察狀態(tài)預(yù)測(cè)隱藏(未知)狀態(tài)序列。
這類模型遵循馬爾可夫過(guò)程假設(shè):
“鑒于我們知道現(xiàn)在，所以未來(lái)是獨(dú)立于過(guò)去的"
因此，在處理隱馬爾可夫模型時(shí)，我們只需要知道我們的當(dāng)前狀態(tài)，以便預(yù)測(cè)下一個(gè)狀態(tài)(我們不需要任何關(guān)于前一個(gè)狀態(tài)的信息)。
要使用HMMs進(jìn)行預(yù)測(cè)，我們只需要計(jì)算隱藏狀態(tài)的聯(lián)合概率，然后選擇產(chǎn)生最高概率(最有可能發(fā)生)的序列。
為了計(jì)算聯(lián)合概率，我們需要以下三種信息:
初始狀態(tài)：任意一個(gè)隱藏狀態(tài)下開(kāi)始序列的初始概率。
轉(zhuǎn)移概率：從一個(gè)隱藏狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)隱藏狀態(tài)的概率。
發(fā)射概率：從隱藏狀態(tài)移動(dòng)到觀測(cè)狀態(tài)的概率
舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，假設(shè)我們正試圖根據(jù)一群人的穿著來(lái)預(yù)測(cè)明天的天氣是什么(圖5)。
在這種例子中，不同類型的天氣將成為我們的隱藏狀態(tài)。晴天，刮風(fēng)和下雨)和穿的衣服類型將是我們可以觀察到的狀態(tài)(如,t恤，長(zhǎng)褲和夾克)。初始狀態(tài)是這個(gè)序列的起點(diǎn)。轉(zhuǎn)換概率，表示的是從一種天氣轉(zhuǎn)換到另一種天氣的可能性。最后，發(fā)射概率是根據(jù)前一天的天氣，某人穿某件衣服的概率。
圖5:隱馬爾可夫模型示例[6]
使用隱馬爾可夫模型的一個(gè)主要問(wèn)題是，隨著狀態(tài)數(shù)的增加，概率和可能狀態(tài)的數(shù)量呈指數(shù)增長(zhǎng)。為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以使用維特比算法。
如果您對(duì)使用HMMs和生物學(xué)中的Viterbi算法的實(shí)際代碼示例感興趣，可以在我的Github代碼庫(kù)中找到它。
從機(jī)器學(xué)習(xí)的角度來(lái)看，觀察值組成了我們的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，隱藏狀態(tài)的數(shù)量組成了我們要調(diào)優(yōu)的超參數(shù)。
機(jī)器學(xué)習(xí)中HMMs最常見(jiàn)的應(yīng)用之一是agent-based情景，如強(qiáng)化學(xué)習(xí)(圖6)。
圖6：強(qiáng)化學(xué)習(xí)[7]中的HMMs
高斯過(guò)程
高斯過(guò)程是一類完全依賴自協(xié)方差函數(shù)的平穩(wěn)零均值隨機(jī)過(guò)程。這類模型可用于回歸和分類任務(wù)。
高斯過(guò)程最大的優(yōu)點(diǎn)之一是，它們可以提供關(guān)于不確定性的估計(jì)，例如，給我們一個(gè)算法確定某個(gè)項(xiàng)是否屬于某個(gè)類的確定性估計(jì)。
為了處理嵌入一定程度上的不確定性的情況，通常使用概率分布。
一個(gè)離散概率分布的簡(jiǎn)單例子是擲骰子。
想象一下，現(xiàn)在你的一個(gè)朋友挑戰(zhàn)你擲骰子，你擲了50個(gè)trows。在擲骰子公平的情況下，我們期望6個(gè)面中每個(gè)面出現(xiàn)的概率相同(各為1/6)。如圖7所示。
圖7:擲骰子公平的概率分布
無(wú)論如何，你玩得越多，你就越可以看到到骰子總是落在相同的面上。此時(shí)，您開(kāi)始考慮骰子可能是不公平的，因此您改變了關(guān)于概率分布的最初信念(圖8)。
圖8:不公平骰子的概率分布
這個(gè)過(guò)程被稱為貝葉斯推理。
貝葉斯推理是我們?cè)讷@得新證據(jù)的基礎(chǔ)上更新自己對(duì)世界的認(rèn)知的過(guò)程。
我們從一個(gè)先前的信念開(kāi)始，一旦我們用全新的信息更新它，我們就構(gòu)建了一個(gè)后驗(yàn)信念。這種推理同樣適用于離散分布和連續(xù)分布。
因此，高斯過(guò)程允許我們描述概率分布，一旦我們收集到新的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，我們就可以使用貝葉斯法則(圖9)更新分布。
圖9:貝葉斯法則[8]
自回歸移動(dòng)平均過(guò)程
自回歸移動(dòng)平均(ARMA)過(guò)程是一類非常重要的分析時(shí)間序列的隨機(jī)過(guò)程。ARMA模型的特點(diǎn)是它們的自協(xié)方差函數(shù)只依賴于有限數(shù)量的未知參數(shù)(對(duì)于高斯過(guò)程是不可能的)。
縮略詞ARMA可以分為兩個(gè)主要部分:
自回歸=模型利用了預(yù)先定義的滯后觀測(cè)值與當(dāng)前滯后觀測(cè)值之間的聯(lián)系。
移動(dòng)平均=模型利用了殘差與觀測(cè)值之間的關(guān)系。
ARMA模型利用兩個(gè)主要參數(shù)(p, q)，分別為：
p = 滯后觀測(cè)次數(shù)。
q = 移動(dòng)平均窗口的大小。
ARMA過(guò)程假設(shè)一個(gè)時(shí)間序列在一個(gè)常數(shù)均值附近均勻波動(dòng)。如果我們?cè)噲D分析一個(gè)不遵循這種模式的時(shí)間序列，那么這個(gè)序列將需要被差分，直到分割后的序列具有平穩(wěn)性。
這可以通過(guò)使用一個(gè)ARIMA模型來(lái)實(shí)現(xiàn)，如果你有興趣了解更多，我寫(xiě)了一篇關(guān)于使用ARIMA進(jìn)行股票市場(chǎng)分析的文章。
謝謝閱讀！
參考文獻(xiàn)
[1] M C Escher, “Smaller and Smaller” — 1956.訪問(wèn): https://www.etsy.com/listing/288848445/m-c-escher-print-escher-art-smaller-and
[2] 機(jī)器學(xué)習(xí)中大數(shù)定律的簡(jiǎn)要介紹。Machine Learning Mastery, Jason Brownlee. 訪問(wèn): https://machinelearningmastery.com/a-gentle-introduction-to-the-law-of-large-numbers-in-machine-learning/
[3] 正態(tài)分布，二項(xiàng)分布，泊松分布 , Make Me Analyst. 訪問(wèn): http://makemeanalyst.com/wp-content/uploads/2017/05/Poisson-Distribution-Formula.png
[4] 通用維基百科. Accessed at: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Random_walk_25000.gif
[5] 數(shù)軸是什么?Mathematics Monste. 訪問(wèn): https://www.mathematics-monster.com/lessons/number_line.html
[6] 機(jī)器學(xué)習(xí)算法: SD (σ)- 貝葉斯算法. Sagi Shaier, Medium. 訪問(wèn): https://towardsdatascience.com/ml-algorithms-one-sd-%CF%83-bayesian-algorithms-b59785da792a
[7] DeepMind的人工智能正在自學(xué)跑酷，結(jié)果非常令人驚訝。The Verge, James Vincent. 訪問(wèn): https://www.theverge.com/tldr/2017/7/10/15946542/deepmind-parkour-agent-reinforcement-learning
[8] 為數(shù)據(jù)科學(xué)專業(yè)人員寫(xiě)的強(qiáng)大的貝葉斯定理介紹。KHYATI MAHENDRU, Analytics Vidhya. Accessed at: https://www.analyticsvidhya.com/blog/2019/06/introduction-powerful-bayes-theorem-data-science/
via https://towardsdatascience.com/stochastic-processes-analysis-f0a116999e4
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