神經網絡和數學之間的聯系在哪里？看完你就明白

雷鋒網按：本文原作者憶臻，本文原載于作者的知乎專欄——機器學習算法與自然語言處理。雷鋒網已獲得作者授權。

在我們了解過神經網絡的人中，都了解神經網絡一個有很常見的訓練方法，BP 訓練算法。通過 BP 算法，我們可以不斷的訓練網絡，最終使得網絡可以無限的逼近一種我們想要擬合的函數，最終訓練好的網絡它既能在訓練集上表現好，也能在測試集上表現不錯！

那么 BP 算法具體是什么呢？為什么通過 BP 算法，我們就可以一步一步的走向最優值（即使有可能是局部最優，不是全局最優，我們也可以通過其它的方法也達到全局最優），有沒有一些什么數學原理在里面支撐呢？這幾天梳理了一下這方面的知識點，寫下來，一是為了記錄，二也可以分享給大家，防止理解錯誤，一起學習交流。

BP 算法具體是什么，可以參考我這篇文章知乎專欄（詳細的將 BP 過程走了一遍，加深理解），那么下面解決這個問題，為什么通過 BP 算法，就可以一步一步的走向更好的結果。首先我們從神經網絡的運行原理來看，假如現在有下面這個簡單的網絡，如圖：

我們定義符號說明如下：

則我們正向傳播一次可以得到下面公式：

如果損失函數 C 定義為

那么我們希望訓練出來的網絡預測出來的值和真實的值越接近越好。我們先暫時不管 SGD 這種方法，最暴力的我們希望對于一個訓練數據，C 能達到最小，而在 C 表達式中，我們可以把 C 表達式看做是所有 w 參數的函數，也就是求這個多元函數的最值問題。那么成功的將一個神經網絡的問題引入到數學中最優化的路上了。

---------------------------分割線---------------------------

好，我們現在順利的將一個神經網絡要解決的事情轉變為一個多元函數的最優化上面來了。現在的問題是怎么修改 w，來使得 C 越來越往最小值靠近呢。常見的方法我們可以采取梯度下降法（為什么梯度下降法中梯度的反方向是最快的方向，可以參考我下篇文章，不是這篇文章主旨）。可能到這還有點抽象，下面舉一個特別簡單的例子。

假如我們的網絡非常簡單，如下圖（符號說明跟上面一樣）：

那么我們可以得到：

其中

只有 w 參數是未知的，那么 C 就可以看做是關于 w 的二元函數（二元函數的好處就是我們可以在三維坐標上將它可視化出來，便于理解~）。 圖片來自于網絡：

下面走一遍算法過程：

我們先開始隨機初始化 w 參數，相當于我們可以在圖上對應 A 點。

下面我們的目標是到達最低點 F 點，于是我們進行往梯度反方向進行移動，公式如下：

每走一步的步伐大小由前面的學習率決定，假如下一步到了 B 點，這樣迭代下去，如果全局只有一個最優點的話，我們在迭代數次后，可以到達 F 點，從而解決我們的問題。

那么好了，上面我們給出二元函數這種簡單例子，從分析到最后求出結果，我們能夠直觀可視化最后的步驟，那么如果網絡復雜后，變成多元函數的最優值求法原理是一模一樣的！到此，我結束了該文要講的知識點了。 歡迎各位朋友指錯交流~

---------------------------分割線---------------------------

在我學習的時候，我已經理解了上面的知識了，但是我在思考既然我最后已經得到一個關于 w 的多元函數了，那么我為什么不直接對每一個 w 進行求偏導呢，然后直接進行更新即可，為什么神經網絡的火起還需要 bp 算法的提出才復興呢！我的疑惑就是為什么不可以直接求偏導，而必須出現 BP 算法之后才使得神經網絡如此的適用呢？下面給出我的思考和理解（歡迎交流~）

1. 為什么不可以直接求導數？

在神經網絡中，由于激活函數的存在，很多時候我們在最后的代價函數的時候，包含 w 參數的代價函數并不是線性函數，比如最簡單的

這個函數對 w 進行求導是無法得到解析解的，那么說明了無法直接求導的原因。

2. 那么既然我們我們不能夠直接求導，我們是否可以近似的求導呢？比如可以利用

根據這個公式我們可以近似的求出對每個參數的導數，間距越小就越接近，那么為什么不可以這樣，而必須等到 BP 算法提出來的時候呢？思考中……

答：是因為計算機量的問題，假設我們的網絡中有 100 萬個權重，那么我們每一次算權重的偏導時候，都需要計算一遍改變值，而改變值必須要走一遍完整的正向傳播。那么對于每一個訓練樣例，我們需要 100 萬零一次的正向傳播（還有一次是需要算出 C），而我們的 BP 算法求所有參數的偏導只需要一次反向傳播即可，總共為倆次傳播計時。到這里我想已經解決了為什么不能夠用近似的辦法，因為速度太慢，計算復雜度太大了~ 每一次的傳播，如果參數多的話，每次的矩陣運算量非常大，以前的機器速度根本無法承受~ 所以直到有了 BP 這個利器之后，加快了神經網絡的應用速度。

以上僅個人理解，感謝德川的幫助！歡迎知友提出問題交流~

以下是我學習用到的資料和博客：
《neural networks and deep learning》需要中文版的歡迎留言郵箱
零基礎入門深度學習 (1) - 感知器