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雷鋒網按：本文由圖普科技編譯自《Exemplar CNNs and Information Maximization》，雷鋒網獨家首發。
前幾周，我針對一篇題為《Unsupervised Learning by Predicting Noise》的論文寫了自己的解讀和看法。在文章中，我提到了解讀這一方法的另一個角度——信息最大化，即尋找有限熵數據的非線性表征，同時最大程度地保留輸入的信息。
在那篇文章中，我簡單地提了一下“Exemplar-CNNs”的方法。這一方法也能被理解為“卷積神經網絡范例”。我是從下面這篇論文中了解到這個方法的：
《 Discriminative Unsupervised Feature Learning with Exemplar Convolutional Neural Networks》Dosovitskiy, Fischer, Springenberg, Riedmiller & Brox (2014)
在此之前我從沒見過“范例”與“卷積神經網絡”的組合，所以我認為這可能是論文所做的的“首創”。
本文對“范例卷積神經網絡”的訓練方法僅作了簡單簡單的概述，所以如果想要獲得更多、更真實的信息，請閱讀論文原文。
本文簡要介紹了“變分信息最大化”，并將其運用到了“范例卷積神經網絡”的案例中。
我們在案例中只使用了一個數量適中的訓練圖像集，“范例卷積神經網絡”恰恰利用了這一點，把數據分布表示為一個經驗分布（離散有限可能性的分布）。
假設我們離散了分布，使之變得不連續，那么“范例卷積神經網絡”就能夠被推導成為“種子圖像”和其表征之間的互信息的一個下界。
在前面提到的論文中，Dosovistkiy等人采用的方法其實很簡單。從一個未經標記的數據庫中取出適量有趣的圖像，把這些圖像稱為“種子圖像”或者是“范例”。你需要對每一個圖像進行各種各樣的轉換，你可以更改“種子圖像”的顏色，或者把它旋轉至不同的方向。而這些轉換后的圖像集合就是一個“代理圖像集”。下圖就是對一只鹿的“種子圖像”進行各種轉換之后得到的圖像集：
每一張范例圖像都需要經過轉換，形成一個“代理圖像集”。所以，你有多少張“種子圖像”，就會有多少個“代理圖像集”。完成以后，你就可以開始一個卷積網絡的訓練了。你需要讓它通過一張轉換后的圖像，推測其“種子圖像”的各項指數。所以，如果你有8000個“種子圖像”，你就需要解決8000個圖像分類的問題。那么相應地，你的卷積網絡也就具備了8000維度的分類功能。
當然了，“種子圖像”數量越多，網絡訓練的難度就越大，到最后網絡掌握的分類功能的維度也就越高。論文的作者們表示，8000個“種子圖像”尚在網絡分類功能可處理的范圍之內，而且這8000個圖像的訓練就已足夠讓我們達到比較理想的效果了。
下面我想補充的是——我們在“范例卷積神經網絡”中建立的“馬爾科夫鏈”的圖像模型視圖。
“信息最大化”能夠根據信息測量變量的不同，采取不同的方式來進行表征學習。為了進一步了解“范例卷積神經網絡”，我們來看下圖的“馬爾科夫鏈”：
上圖中的X表示“種子圖像”，Tαx表示轉換后的圖像（隨機抽樣變換參數α），Z=g(Tαx；Θ)表示采用了隨機圖像并計算了其表征的一個映射。所以，從Tαx到的Z箭頭事實上是一個確定性映射。
如果我們把z看作是x的表征，那么實現“互信息”║[X,Z]的最大化就是有意義的。這個“互信息”有一個下界，這個下界就是標準的“變分下限”。
如果我們的變分集Q涵蓋了真實情境Px∣z，那么這一下界就是確定的。
“范例卷積神經網絡”的特別之處就在于，它利用了“分布Px實際上是N觀測值的一個經驗分布”這一事實。這是當我們推導一個損失函數時，通常被我們否定的一種情況，只有在最后才能代替經驗分布，構造一個無偏估計值。這里，我們很大程度上是依靠這樣一個事實——我們只有N觀測值，而且N與數據維度D相比較小。用N來模擬離散分布，比模擬圖像分布要簡單得多。
如果我們有N的“種子圖像”Xn，那么我們就可以勉強用X來表示下面的經驗分布：
假如Z的分布被稍稍地離散了，那么賦予Z的情境也會被離散，只是離散的比例不同。
因此，在這種情況下，一個僅根據不同比例離散分布的變分集合Q就變得非常必要了：
上面公式中，W代表的是q的參數，πn(Z,W)表示形成了一個有效的離散概率分布。這樣才會使得
。如果我們讓離散比例πn(Z,W)靈活地任意變化，變分集合Q就能意識到其后部內容，而我們對“互信息”的限制就會比較嚴格。使用上面對qΘ的定義，我們可以把下界表達為：
從x可以得到其表征z，使用其中的原理，我們可以依據轉換參數α的期望值，寫出以下表達式：
表達式左邊的部分看上去很像是“范例卷積神經網絡”學習的“N式”分類問題：我們可以把其中的πn看作是“N式”的分類器，這個分類器需要一張任意轉換過的圖像，然后估測出“代理集合”n。上面的方程式事實上是這個分類器的“損失函數”。
為獲得真正的“范例卷積神經網絡”方程式，我們需要做的最后一件事是進一步限制Q。因此，我們只能讓離散比例π符合以下的邏輯回歸式：
如果我們把這些值重新代入之前得出的方程式，那么我們就會得到論文中提到的“多項損失函數”（與論文中的方程式5相對比）：
因此，我們已經證明了“范例卷積神經網絡”進行優化的目標函數，實際上是限制“種子圖像”和轉換后圖像的表征g(Tαx)間的“互信息”的一個下界。
“互信息”的下界限制其實可能并不是那么的嚴格，因為π(z,Θ)僅受限于線性分類器。但是如果我們決心嚴格限制互信息，那么這個下界是完全可能更加嚴格的。確實，如果我們不考慮最后一層g，而是把一些中間的隱藏層視作表征，把上面的一些層視作是q的一部分，那么這個所謂的下界限制就仍然是有效的，而且中間層的限制就會更嚴格。
那些非寬松的界限并不一定就是故障所在，相反，它可能還是一個特色。僅考慮q的邏輯回歸模型，實際上是一個比信息優化更嚴格的目標函數。就像我之前經常提到的，“互信息”本身對表征的可逆再參量化并不敏感，因此它不能夠自己找到已還原了的表征。所以，僅考慮下界的問題可能更適用于這個案例。你不僅需要用z來保留關于x的信息，還需要一個線性可辨性的格式，如果你之后想要把表征用于線性分類器的話，那么這個線性可辨性就是一個相當有用的屬性。
最后，一個這樣的問題出現了——到底什么樣的函數或映射應該被用作表征呢？關于這個問題，你有三個選項：
作者是把g(x,Θ)的層用作表征本身的。這在我看來是有些難以理解的，因為這個函數從未經過一個真實圖像補丁的訓練，它只受過轉換過的圖像補丁Tαx的訓練。我認為作者這一做法的原因是，盡管受到種子補丁的訓練較少，但是這個函數已經經過大量轉換過的圖像的訓練，所以它是完全有能力成為表征的。作者還提出，最后一層最終將會被訓練得越來越不容易受轉換圖像的影響。
你可以使用一個隨機表征g(Tαx,Θ)，但是過不久這個表征就會顯得很累贅，不好處理。因為你必須每次都抽樣檢查α，對它進行評估，并且整合α上面建立的所有表征。
你可以使用
的方法。如果g是轉換圖像的不變量，那么它就能表示成
。實際上，如果g不是轉換圖像的不變量，那
可能更有可能是不變的。
最后，就像我在前面說的，你可以把g的中間層當作表征，而不是最后一層。你還是可以訓練那些中間層，讓他們實現信息最大化，事實上那些中間層的界限還更嚴格一些。其實作者也是這樣做的：他們集合了各個層的特征，然后考慮了所有中間層之上的一個線性SVM。
“范例卷積神經網絡”是“自監督學習”的一個絕佳例子。采用一個未經標記的數據庫，并在此之上建立一個代理的監督式學習任務來幫助表征學習。像我在本文中說的，“范例卷積神經網絡”還能被理解為——尋找一個信息最大化的表征。
相對簡單的用于變分界限的變分分布可能是個非常有益的東西，而設立嚴格的界限可能反而會讓事情變得更糟。誰知道呢？但是在這個框架內建立“范例卷積神經網絡”，確實讓我們更好地理解了其工作原理。
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